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LeetCode: 964. 表示数字的最少运算符

1、题目描述

给定一个正整数 x,我们将会写出一个形如 x (op1) x (op2) x (op3) x ... 的表达式,其中每个运算符 op1,op2,… 可以是加、减、乘、除(+-*,或是 /)之一。例如,对于 x = 3,我们可以写出表达式 3 * 3 / 3 + 3 - 3,该式的值为 3

在写这样的表达式时,我们需要遵守下面的惯例:

  • 除运算符(/)返回有理数。
  • 任何地方都没有括号。
  • 我们使用通常的操作顺序:乘法和除法发生在加法和减法之前。
  • 不允许使用一元否定运算符(-)。例如,“x - x” 是一个有效的表达式,因为它只使用减法,但是 “-x + x” 不是,因为它使用了否定运算符。

我们希望编写一个能使表达式等于给定的目标值 target 且运算符最少的表达式。返回所用运算符的最少数量。

示例 1:

输入:x = 3, target = 19
输出:5
解释:3 * 3 + 3 * 3 + 3 / 3 。表达式包含 5 个运算符。

示例 2:

输入:x = 5, target = 501
输出:8
解释:5 * 5 * 5 * 5 - 5 * 5 * 5 + 5 / 5 。表达式包含 8 个运算符。

示例 3:

输入:x = 100, target = 100000000
输出:3
解释:100 * 100 * 100 * 100 。表达式包含 3 个运算符。

提示:

  • 2 <= x <= 100
  • 1 <= target <= 2 * 10^8

2、解题思路

  • 如果我们知道了最终式子有几个数字,那么运算符就是数组的数量减一
  • 实际上,我们可以将多个数字的乘法,以及两个数字的除法看成基本单元,用来逼近target
  • 如果是除法,数字增益是2
  • 如果是乘法,增益就是指数

因此,除法可以看成是指数为0,增益为2

这时候,我们可以从最低的开始查找,找出没办法除尽的余数,用这个数字来计算当前指数层级的数字增益

取余数的时候有两种方式,一种是取当前层级叠加,另一种是当前层级用来减,加上一个下一层级

由于数字最大是2 * 10^8,因此最大的层级不超过28,这里使用32作为缓存

from functools import lru_cache


class Solution:
    def leastOpsExpressTarget(self, x: int, target: int) -> int:
        power_base = list(range(32))
        power_base[0] = 2

        @lru_cache(None)
        def dfs(power, tar):
            if tar == 0:
                return 0
            if tar == 1:
                return power_base[power]
            if power > 30:
                return float('inf')

            next_base, remainder = divmod(tar, x)
            return min(remainder * power_base[power] + dfs(power + 1, next_base),
                       (x - remainder) * power_base[power] + dfs(power + 1, next_base + 1))

        return dfs(0, target) - 1